Programación Dinámica

Programación dinámica

En informática, la programación dinámica es un método para reducir el tiempo de ejecución de un algoritmo mediante la utilización de subproblemas superpuestos y subestructuras óptimas, como se describe a continuación.

El matemático Richard Bellman inventó la programación dinámica en 1953.

Introducción

Una subestructura óptima significa que se pueden usar soluciones óptimas de subproblemas para encontrar la solución óptima del problema en su conjunto. Por ejemplo, el camino más corto entre dos vértices de un Grafo se puede encontrar calculando primero el camino más corto al objetivo desde todos los vértices adyacentes al de partida, y después usando estas soluciones para elegir el mejor camino de todos ellos. En general, se pueden resolver problemas con subestructuras óptimas siguiendo estos tres pasos:

1. Dividir el problema en subproblemas más pequeños.
2. Resolver estos problemas de manera óptima usando este proceso de tres pasos recursivamente.
3. Usar estas soluciones óptimas para construir una solución óptima al problema original.

Los subproblemas se resuelven a su vez dividiéndolos en subproblemas más pequeños hasta que se alcance el caso fácil, donde la solución al problema es trivial.

Decir que un problema tiene subproblemas superpuestos es decir que se usa un mismo subproblema para resolver diferentes problemas mayores. Por ejemplo, en la Sucesión de Fibonacci (F3 = F1 + F2 y F4 = F2 + F3) calcular cada término supone calcular F2. Como para calcular F5 hacen falta tanto F3 como F4, una mala implementación para calcular F5 acabará calculando F2 dos o más veces. Esto sucede siempre que haya subproblemas superpuestos: una mala implementación puede acabar desperdiciando tiempo recalculando las soluciones óptimas a subproblemas que ya han sido resueltos anteriormente.

Esto se puede evitar guardando las soluciones que ya hemos calculado. Entonces, si necesitamos resolver el mismo problema más tarde, podemos obtener la solución de la lista de soluciones calculadas y reutilizarla. Este acercamiento al problema se llama Memorización (en inglés "Memorization"). Si estamos seguros de que no volveremos a necesitar una solución en concreto, la podemos descartar para ahorrar espacio. En algunos casos, podemos calcular las soluciones a problemas que de antemano sabemos que vamos a necesitar.

es ligeramente mejor en consumo de espacio y llamadas a funciones, pero a veces resulta poco intuitivo encontrar todos los subproblemas necesarios para resolver un problema dado.

Originalmente, el término de programación dinámica se refería a la resolución de ciertos problemas y operaciones fuera del ámbito de la Ingeniería Informática, al igual que hacía la Programación lineal. Aquel contexto no tiene relación con la Programación en absoluto; el nombre es una coincidencia. El término también lo usó en los años 40 Richard Bellman, un matemático norteamericano, para describir el proceso de resolución de problemas donde hace falta calcular la mejor solución consecutivamente.

Algunos lenguajes de programación funcionales, sobre todo Haskell, pueden usar la Memorización automáticamente sobre funciones con un conjunto concreto de argumentos, para acelerar su proceso de evaluación. Esto sólo es posible en funciones que no tengan efectos secundarios, algo que ocurre en Haskell pero no tanto en otros lenguajes.

Principio de optimalidad

Cuando hablamos de optimizar nos referimos a buscar alguna de las mejores soluciones de entre muchas alternativas posibles. Dicho proceso de optimización puede ser visto como una secuencia de decisiones que nos proporcionan la solución correcta. Si, dada una subsecuencia de decisiones, siempre se conoce cuál es la decisión que debe tomarse a continuación para obtener la secuencia óptima, el problema es elemental y se resuelve trivialmente tomando una decisión detrás de otra, lo que se conoce como estrategia voraz.

A menudo, aunque no sea posible aplicar la estrategia voraz, se cumple el principio de optimalidad de Bellman que dicta que «dada una secuencia óptima de decisiones, toda subsecuencia de ella es, a su vez, óptima». En este caso sigue siendo posible el ir tomando decisiones elementales, en la confianza de que la combinación de ellas seguirá siendo óptima, pero será entonces necesario explorar muchas secuencias de decisiones para dar con la correcta, siendo aquí donde interviene la programación dinámica.

Contemplar un problema como una secuencia de decisiones equivale a dividirlo en subproblemas más pequeños y por lo tanto más fáciles de resolver como hacemos en Divide y Vencerás, técnica similar a la de programación dinámica. La programación dinámica se aplica cuando la subdivisión de un problema conduce a:

• Una enorme cantidad de subproblemas.
• Subproblemas cuyas soluciones parciales se solapan.
• Grupos de subproblemas de muy distinta complejidad.

Ejemplos

Coeficientes binomiales

El algoritmo recursivo que calcula los coeficientes binomiales resulta ser de complejidad exponencial por la repetición de los cálculos que realiza. No obstante, es posible diseñar un algoritmo con un tiempo de ejecución de orden O(nk) basado en la idea del Triángulo de Pascal, idea claramente aplicable mediante programación dinámica. Para ello es necesaria la creación de una tabla bidimensional en la que ir almacenando los valores intermedios que se utilizan posteriormente.

La idea recursiva de los coeficientes binomiales es la siguiente:

 =  +  si 0 < k < n

 =  = 1

La idea para construir la tabla de manera eficiente y sin valores inútiles es la siguiente:

	0	1	2	3	...	k-1	k
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
...	...	...	...	...	...
...	...	...	...	...	...	...
n-1						C(n-1,k-1)	C(n-1,k)
n							C(n,k)

El siguiente algoritmo memorizado de estrategia Bottom-up tiene complejidad polinómica y va rellenando la tabla de izquierda a derecha y de arriba abajo:

   FUNC CoeficientesPolinomiales ( ↓ n, k: NATURAL): NATURAL
Variables
    tabla: TABLA DE NATURAL
    i, j: NATURAL
Inicio
    PARA i ← 0 HASTA n HACER
        tabla[i][0] ← 1
    FINPARA
    PARA i ← 1 HASTA n HACER
        tabla[i][1] ← i
    FINPARA
    PARA i ← 2 HASTA k HACER
        tabla[i][i] ← 1
    FINPARA
    PARA i ← 3 HASTA n HACER
        PARA j ← 2 HASTA i-1 HACER
            SI j <= k ENTONCES
                tabla[i][j] ← tabla[i-1][j-1] + tabla[i-1][j]
            FINSI
        FINPARA
    FINPARA
    devolver tabla[n][k]
   Fin

Por supuesto, el problema de los Coeficientes Binomiales también puede resolverse mediante un enfoque Top-down.

El viaje más barato por el río

En un río hay n embarcaderos, en cada uno de los cuales se puede alquilar un bote para ir a otro embarcadero que esté más abajo en el río. Suponemos que no se puede remontar el río. Una tabla de tarifas indica los costes de viajar entre los distintos embarcaderos. Se supone que puede ocurrir que un viaje entre i y j salga más barato haciendo escala en k embarcaderos que yendo directamente.

El problema consistirá en determinar el coste mínimo para un par de embarcaderos.

Vamos a llamar a la tabla de tarifas, T. Así, T[i,j] será el coste de ir del embarcadero i al j. La matriz será triangular superior de orden n, donde n es el número de embarcaderos.

La idea recursiva es que el coste se calcula de la siguiente manera:

C(i, j) = T[i, k] + C(k, j)

A partir de esta idea, podemos elaborar una expresión recurrente para la solución:

              0   si i = j
C(i, j)=
           Min(T(i,k) + C(k,j), T(i,j))   si i < k <= j

Un algoritmo que resuelve este problema es el siguiente, donde T es la matriz de tarifas, origen y destino los embarcaderos del que se parte y al que se llega respectivamente, y C la matriz en la que almacenaremos los resultados de los costes. La función MenorDeLosCandidatos devuelve el menor coste entre dos puntos, utilizando como base la recurrencia anteriormente expuesta.

   FUNC Embarcaderos ( ↓ origen, destino, n: NATURAL, ↓ T: MATRIZ DE NATURAL): NATURAL
Variables
    C: MATRIZ DE NATURAL
    i, j: NATURAL
Inicio
    PARA i ← 1 HASTA n HACER
        C[i][i] ← 0
    FINPARA
    PARA i ← 1 HASTA n HACER
        PARA j ← 1 HASTA n HACER
            C[i][j] ← menorDeLosCandidatos(i, j, n, T, C)
        FINPARA
    FINPARA
    devolver C[n] [n]
   Fin

   FUNC menorDeLosCandidatos ( ↓ origen, destino, n: NATURAL, ↓ T, C: MATRIZ DE NATURAL): NATURAL
Variables
    temp: NATURAL
Inicio
    temp ← MAX_NATURAL
    PARA i ← origen+1 HASTA n HACER
        temp ← min(temp, T[origen][i] + C[i][destino]
    FINPARA
    devolver temp
   Fin

Referencias

• Xumari, G.L. Introduction to dynamic programming. Wilwy & Sons Inc., New York. 1967.